Bortalaget Arsenal var decimerat i stora delar av matchen sedan den franske försvarskuggen William Saliba fått rött kort efter en halvtimmes spel.
Men det tog till slutet av den andra halvleken innan Bournemouth spräckte Londonlagets nolla. Inhopparna Ryan Christie och Justin Kluivert, vars pappa är den tidigare nederländske stjärnan Patrick, satte ett varsitt mål i 70:e respektive 79:e minuten.
I och med segern lyfte Bournemouth till tionde plats i tabellen medan Arsenal är kvar på tredje. På söndagen kan serieledande Liverpool och tabelltvåan och regerande ligamästaren Manchester City utöka avståndet i toppen.
Liverpool tar emot Chelsea i ett stormöte och City gästar Wolverhampton.
