Bayrou och Macron talade också i telefon i torsdags kväll.
Emmanuel Macron ska under fredagen tillsätta en ny premiärminister sedan Frankrikes regering fälldes av oppositionen, och premiärminister Michel Barnier förlorat ett misstroendevotum.
Blir Bayrou vald blir hans första uppgift kommer att utarbeta en ny tillfällig budget som ska gälla tills det att man nästa år kan få till stånd en långsiktig sådan.
Bayrou, som är partiledare för mittenpartiet Demokratiska rörelsen (Modem) och borgmästare i staden Pau i sydvästra Frankrike, är en av förhandsfavoriterna till premiärministerposten.
Han har kandiderat till tre presidentval, senast 2012. Fem år senare fanns han inte bland kandidaterna utan gav i stället sitt stöd till Emmanuel Macron – som tog hem valet. Bayrou blev utsedd till justitieminister men avgick efter bara en månad sedan hans parti anklagats för att fuska med allmänna medel.
Bayrou grundade Demokratiska rörelsen 2007, som är allierat med Emmanuel Macrons parti, och har varit dess partiledare sedan dess.
